18章　陰関数

　　Maple　を用いて、 x2-xy+y2-3=0で定まる陰関数　y=φ(x)のグラフを描いてみましょう。

＞solve　(x2-x*y+y2-3=0,　y　)　

とする　(x2-xy+y2-3 = 0を y について解く ) と、 x2-xy+y2-3 = 0で定まる陰関数が求まります。 2次方程式に対する解の公式を用いて手計算を行っても求められます。


これらのグラフを定義域　[-2,2]　で描きます。

＞plot({1/2*x+1/2*sqrt(-3*x^2+12),1/2*x-1/2*sqrt(-3*x^2+12)}　,　x=-2　.　.　2　)　


実習18.1 　x3+3x2-y2　=　0　で定まる陰関数のグラフを描いてみましょう。

[正解例]


Maple　には、implicitplot　という関数が用意されており、これを用いると簡単に表示することができます。

＞　with　(plots):
＞　implicitplot　(　x^2-x*y+y^2-3=　0　,　　x=-2　.　.　2　,　y=-2　.　.　2　)　

曲線をなめらかに表示したいときには、numpoints=10000などとオプションをつけるとよいです。

実習　18.2 　x3+3x2-y2　=　-1　,x3+3x2-y2 　=　0　,x3+3x2-y2　=　1　 で定まる陰関数のグラフをそれぞれ描いてみましょう。また、 z=x3+3x2-y2 のグラフを等高線を表示させて描いて比較してみましょう。

[正解例]


実習　18.3 　曲線　x3-3xy+y3　=　0　を　xy　平面上に図示してみましょう。 また、z=x3-3xy+y3　のグラフを等高線を表示させて描いて比較してみましょう。

[正解例]




f(x,y)=0 で定まる陰関数y=φ(x)の導関数y'=φ(x)を求めるには、implicitdiffコマンドを用います。

>implicitdiff(f(x,y)=0,y,x)　　
(f(x,y)=0で定まる陰関数yをxで微分)

>implicitdiff(f(x,y)=0,y,x,x)　
(f(x,y)=0で定まる陰関数yをxで二回微分

実習18.4　f(x,y)がC2級のとき、f(x,y)=0で定まる陰関数y=φ(x)に対し、次が成り立つことを確かめなさい。
　　　y'=φ'(x)=-fx/fy
　　　y''=φ''(x)=-(fxx fy2-2fxy fx fy+fyy fx2)/ fy3

[正解例]